Estratégias para Completar Álbum de Figurinhas

Há várias gerações, crianças, adolescentes (e até adultos) se divertem colecionando figurinhas e tentando completar um álbum da Copa do Mundo.

Engana-se quem pensa que a brincadeira é só comprar um álbum, depois comprar toneladas de pacotes de figurinhas e colar…

Na verdade, a brincadeira pode virar um tipo de jogo, com um lado social e estratégico, que pode até mesmo trazer alguma lição sobre vida em comunidade.

1 - Que Jogo?

Não lembro se tive álbum na minha infância. Mas nesta Copa, comprei um para meus filhos e comecei a comprar figurinhas, que vêm em pacotes com figurinhas desconhecidas, como você deve saber.

À medida que nosso álbum foi ficando mais preenchido, as probabilidades começaram a atuar contra nós. Foi ficando cada vez mais difícil de encontrar uma figurinha “inédita” em cada pacotinho!

Então, a menos que queiramos comprar muitíssimas figurinhas (muito mais do que a quantidade de espaços no álbum), a gente sente a necessidade de encontrar outros colecionadores para trocar figurinhas.

Em cidades grandes, existem lugares para colecionadores aleatórios se encontrarem (principalmente em shoppings) para trocar figurinhas. É comum que a interação aconteça com dois colecionadores por vez, onde eles trocam tudo que quiserem, antes de poder interagir com qualquer outro interessado.

Em especial, fiquei surpreso com uma prática que boa parte (talvez a maioria) adota, que pode ser identificada por meio de uma pergunta feita na hora da interação: “você troca repetida por repetida?”. Depois de refletir nisso, percebi que, na verdade, existe um elemento estratégico não-trivial nessa troca de figurinhas…

2 - O Que Tem de Estratégia Nisso?

As estratégias são diferentes maneiras de escolher suas ações de troca. As ações, por sua vez, são os tipos de trocas de suas figurinhas repetidas que um colecionador (jogador) pode fazer.

A troca mais convencional é a mais intuitiva: dois colecionadores A e B quando ambos ganham diretamente uma figurinha “inédita” com a troca. Funciona assim, assim:

• A tem uma figurinha repetida x que B não tem
• B tem uma figurinha repetida y que A não tem
• Então, A e B trocam as figurinhas x e y.

Vou chamar isso de uma troca igualitária.

Mas a ideia de trocar “repetida por repetida” é uma ação diferente. Resolvi chamá-la de troca generosa. Acontece assim:

• A tem uma figurinha repetida x, que B não tem
• B tem uma figurinha repetida y, que A já tem (ou seja, y é repetida para A também)
• Mesmo assim, A generosamente aceita trocar x pro y.

À primeira vista, parece que essa prática só beneficia um lado (só B parece sair ganhando, no exemplo acima). Isso é o que parece se olharmos só 1 rodada de trocas.

Mas o que acontece no longo prazo?

Nerdmente, resolvi investigar os efeitos “globais” desses tipos de trocas por meio de simulações. (Vou deixar os detalhes técnicos no fim).

Para isso, considerei duas estratégias principais:

• Estratégia egoísta. É um jogador que, ao interagir com outro, só cede figurinhas em trocas igualitárias, mas aceita receber por meio de trocas generosas.
• Estratégia benevolente. Neste caso, a cada interação, o colecionador faz trocas igualitárias inicialmente. Quando não for mais possível, também cede ou recebe figurinhas em trocas generosas.

3 - Como Medir o Sucesso?

O sucesso de um estratégia de um colecionar não pode ser avaliado sem levar em consideração as estratégias dos outros colecionadores.

Isso é característico de um jogo na Teoria dos Jogos, que é uma área da Matemática Aplicada. A Teoria dos Jogos serve de fundamento teórico para Sistemas Multiagentes.

Considerei diferentes cenários globais distintos, variando a proporção de colecionadores com cada estratégia que existem na comunidade:

• vamos tratar de cenários puros, que consideram que todos os colecionadores são de um mesmo tipo
• e cenários mistos (mais realistas), onde existem colecionadores egoístas e benevolentes que podem interagir.

Agora, precisamos avaliar numericamente o sucesso de cada estratégia, em cada cenário. Para isso, vamos usar essas métricas de desempenho, na média de várias simulações:

• Métrica 1: probabilidade de completar o álbum, que foi estimada usando a quantidade de colecionadores que preencheram todo o álbum dividida pelo total de colecionadores da estratégia.
• Métrica 2: média de rodadas até completar o álbum, que contabiliza quantas rodadas foram necessárias (=com quantas pessoas ele precisou interagir) em média, considerando apenas os que concluíram.

Mas existem outros fatores que afetam o desempenho, porque afetam as “oportunidades de troca” que cada jogador vai ter. Variamos estes parâmetros, a partir de valores padrões:

• Quantidade de figurinhas do álbum: quantos espaços para colar figurinhas existem no álbum. Quantos maior o álbum, mais difícil de completar. Adotei 300 como padrão. Variei de 50 a 980 (que é a quantidade no álbum da Copa de 2026).
• Proporção de figurinhas (aleatórias) recebidas por cada colecionador, em relação ao tamanho do álbum. É como se você comprasse todas as figurinhas de uma vez. A rigor, bastaria receber 100% (=a mesma quantidade do álbum). Na prática, é útil comprar mais do que isso para ter mais inéditas (para colar no álbum) e para ter mais opções de repetidas para trocar. Adotei 103% como padrão (ou seja, cada um recebe 3% a mais do que os espaços do álbum). Variei de 101% a 110%.

Aos interessados: vejam mais detalhes técnicos no Apêndice, no fim do artigo.

Apresentamos o resumo dos resultados em diferentes cenários, nas seções seguintes.

4 - Cenários A e B (cenários puros, com uma só estratégia cada)

Aqui, vamos comparar dois cenários diferentes:

• em um deles, só existem colecionadores egoístas
• no outro, só existem colecionadores benevolentes

Qual deles é melhor? (Em qual mundo você gostaria de viver, para completar o seu álbum?)

Os resultados das simulações estão na imagem abaixo. (Os resultados dos egoístas são a curva azul, e, dos benevolentes, são a curva verde).

Vou analisar para cada métrica, nas próximas subseções.

Métrica 1 - Probabilidade de Completar o Álbum

Nos dois gráficos superiores (na 1a linha da figura), vemos os resultados da métrica 1. Em cada um dos gráficos, variei: quantidade de figurinhas (gráfico superior, à esquerda), e a proporção de figurinhas recebidas (à direita).

Analise as curvas de cada cenário puro em cada um dos dois gráficos.

Como analisar? A curva mais alta, nesta métrica, indica a melhor estratégia. Pois indica que mais jogadores conseguem completar o álbum por meio de trocas.

De modo geral, o cenário puro com estratégias benevolentes é o melhor para diferentes tamanhos de álbum! Vemos que mais colecionadores completam o álbum.

Já o cenário em que todos são egoístas só consegue ser melhor quando os colecionadores (todos) compram muitas figurinhas a mais (a partir de 105% do álbum).

Métrica 2 - Média de Rodadas até Completar o Álbum

Nos dois gráficos inferiores (na 2a linha), vemos os resultados da segunda métrica. Variei os mesmos parâmetros que antes: quantidade de figurinhas (à esquerda), e a proporção de figurinhas recebidas (à direita).

Como analisar? A curva mais baixa, nesta métrica, indica a melhor estratégia, pois representa que os jogadores precisaram de menos rodadas para completar.

Em todos (!) os casos, percebemos que, quando a comunidade adota somente a estratégia benevolente, é possível completar o álbum mais rapidamente!

Análise Geral dos Cenários A e B

Analisando agora, de forma geral, podemos concluir que, quando todos estão dispostos a fazer trocas generosas, mais colecionadores completam o álbum e o completam em menos tempo, gastando menos.

Porém, não é muito realista acreditar que todos os colecionadores serão benevolentes! Vamos analisar cenários mistos, em que que os dois existem juntos!

5 - Cenário C (misto, com metade de cada estratégia)

Agora, estamos considerando um mesmo cenário em que convivem 50% de colecionadores egoístas e 50% de benevolentes. Todos podem interagir com todos (dois por vez), mesmo se forem de estratégias distintas!

Com essa interação entre os grupos (que não havia antes), os resultados mudam bastante! A figura abaixo mostra os resultados.

Métria 1: Probabilidade de Completar o Álbum

Observe os dois gráficos na 1a linha da imagem. Qual curva aparece mais alta?

Os egoístas estão com uma leve vantagem. Perceba os valores mais altos (curva azul um pouco acima da curva verde), para diferentes variações nos parâmetros. Isso significa que egoístas têm um pouco mais de chance de completar o álbum…

Métrica 2: Média de Rodadas até Completar o Álbum

Observe os três gráficos inferiores (na 2a linha). Qual estratégia requer menos rodadas para completar (mais baixa)?

De modo geral, temos um tipo de empate técnico aqui. O comparativo varia dependendo dos parâmetros, mas os valores são muito próximos. Não dá para apontar uma estratégia claramente superior.

Análise Geral do Cenário C

Nos resultados combinados das duas métricas, vemos alguma vantagem para a estratégia egoístas.

Confesso que esse resultou me frustrou um pouco. O que eu gostaria de descobrir era que ser benevolente valeria sempre a pena.

Mas os benevolentes ainda estão no jogo! Vou mostrar como modificações simples levam à um desempenho superior dos benevolentes em cenários mistos.

6 - Cenário D (misto, com variante da estratégia benevolente)

Nas simulações do cenário anterior, quando egoístas e benevolentes interagem, podem acontecer trocas generosas (“repetida” por “repetida”). Isso significa que o benevolente aceita beneficiar o colecionador egoísta, mesmo que o egoísta não aceite beneficiar ninguém com esse tipo de troca.

Vamos agora considerar uma modificação dos benevolentes para que eles:

• não aceitem fazer trocas generosas com egoístas
• mas continuem aceitando trocas generosas com outro benevolente.

Chamei esse tipo de estratégia de benevolente defensivo.

Vamos testar um novo cenário misto, com 50% de egoístas e 50% de benevolentes defensivos. Os resultados estão no gráfico abaixo.

Análise do Cenário D

Observe o domínio dos benevolentes defensivos (curva laranja) nas duas métricas, para a maioria dos valores dos parâmetros! Note que esta estratégia tem:

• a maior parte dos valores mais altos nos dois gráficos da linha superior (o que representa que os colecionadores desta estratégia têm maior chance de completar);
• e todos os valores mais baixos, nos gráficos da linha de baixo (que indica menor tempo médio até completar o álbum).

Como nos cenários puros, os egoístas só têm alguma vantagem na primeira métrica nos casos em que todos gastam mais com figurinhas! (Ver gráfico na 1a linha, à direita).

Mas creio que todos queremos gastar menos com figurinhas, não é?

7 - Conclusão

Bem, esta foi uma mini-pesquisa para mostrar que, em muitos cenários, vale a pena ser benevolente na troca de figurinhas.

A você que troca “repetidas por repetidas”: continue assim! E quem não troca, vale a pena reconsiderar sua estratégia neste tipo de “jogo”!

Apesar de estarmos aqui analisando uma brincadeira, creio que, de modo geral, toda a sociedade se beneficia se a generosidade for uma prática comum.

Além dos dados que mostrei aqui, deixo como incentivo à prática da generosidade em geral, esses provérbios que atravessam os séculos:

“O generoso prosperará; quem dá alívio aos outros alívio também receberá”. (Provérbios 11:25 | NVI)

“Quem dá aos pobres não passará necessidade, mas quem fecha os olhos para não vê-los sofrerá muitas maldições.” (Provérbios 28:27 | NVI)

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APÊNDICE: Detalhes Técnicos

Tratei as simulações como um tipo de “jogo”. Cada colecionador é um jogador.

Criei variações a partir desta simulação padrão:

• Cada jogador recebe um álbum com espaços para colar 300 figurinhas unicamente identificadas e recebe 309 (=103% de 300) figurinhas aleatórias (com repetições).
• 400 jogadores interagem por até 100 rodadas.
• A cada rodada, os jogadores são emparelhados dois a dois aleatoriamente para interagir.
  • se a quantidade restante de jogadores for ímpar, um jogador aleatório fica sem interagir.
• Em uma interação, os jogadores fazem todas as trocas possíveis (seguindo sua estratégia particular), iniciando pelas trocas igualitárias, depois partindo para as trocas generosas (se as estratégias permitirem)
• Quando um jogador completa o seu álbum, ele sai do jogo, e a simulação continua com os demais jogadores.

Todas os parâmetros (os valores) descritos acima podem impactar nos resultados. Depois de muita experimentação, decidei mostrar o impacto nas métricas (descritas no artigo) apenas destes parâmetros:

• Quantidade de figurinhas do álbum. Modifiquei a simulação padrão, para este parâmetro assumir os valores 50, 150, 300, 600 e 980. (Isso gera os gráficos da esquerda, sendo um por métrica).
• Proporção de figurinhas (aleatórias) recebidas por cada colecionador, que é um percentual em relação ao total do álbum. Variei entre os valores 101%, 103%, 104%, 105%, 106%, 108%, 110%. (Gráficos da direita).

Foram executadas 100 simulações para cada configuração dos parâmetros, usando um código escrito em Python. O resultado médio forma um ponto da curva, enquanto o desvio padrão (do resultado nas 100 simulações) forma a área sombreada em torno da curva.

Trabalhos Futuros

O que foi feito aqui, não encerra as possibilidades. Os efeitos dos parâmetros não são triviais. Eu fiz um recorte, com valores que achei que seriam equilibrados e (mais ou menos) verossímeis. O trabalho pode ser estendido para analisar outras configurações da simulação, outras estratégias, etc.

Além disso, esse trabalho pode ser analisado mais formalmente (com conceitos “matemáticos”). Em especial, a Teoria dos Jogos oferece ferramentas conceituais importantes para a modelagem e análise desse jogo.